https://iranology-e.ir/index.php?action=history&feed=atom&title=%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA 2026-06-16T15:05:03Z تاریخچهٔ نسخه‌ها برای این صفحه در ویکی MediaWiki 1.43.1 https://iranology-e.ir/index.php?title=%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA&diff=7810&oldid=prev 2025-05-10T11:16:13Z

<p></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="fa"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ نسخهٔ قدیمی‌تر</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">نسخهٔ ‏۱۰ مهٔ ۲۰۲۵، ساعت ۱۱:۱۶</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">خط ۱:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">خط ۱:</td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>مثلثات، از شاخه‌های مهم ریاضیات. گرچه سابقه استفاده از توابع مثلثاتی به روزگاران کهن و تمدن‌های بین النهرین باز می‌گردد اما چنان که در این مقاله خواهد آمد، مبانی علمی این رشته در دوره اسلامی و به دست ریاضی‌دانان ایرانی وضع شد. اغلب ستاره‌شناسان ایرانی که به تدوین زیج پرداخته‌اند، به ناچار جدولی از توابع مثلثاتی نیز فراهم آورده‌اند. حبش حاسب٭ در زیج‌های خود، برای نخستین بار دو تابع تانژانتی ظلّ معکوس و ظلّ مستوی (معادل تانژانت و کتانژانت) را به عنوان دو تابع مثلثاتی مستقل (و نه به صورت حاصل تقسیم کسینوس بر سینوس یا بالعکس) تعریف کرد و جداولی نسبتاً دقیق برای این توابع و نیز توابع جیب و جیب تمام (معادل سینوس و کسینوس) ارائه داد&lt;ref&gt;كرامتی، یونس. '''''كارنامه ایرانیان'''''. تهران: 1380، ص 61-62<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">.&lt;/ref&gt;. [[بوزجانی]]٭، بی‌هیچ گفتگو، بزرگ‌ترین عالم مثلثات در جهان [[اسلام]]، و یکی از زبردست‌ترین ریاضی‌دانان تاریخ در این رشته بوده‌است. بخش مهمی از مَجَسطی بوزجانی را می‌توان کتابی جامع درباره علم مثلثات دانست. بسیاری از روابط مشهور و آشنای مثلثاتی توسط [[بوزجانی]] کشف و اثبات شده‌است. از این میان می‌توان به اتحادهای مثلثاتی سینوس و کسینوس مجموع یا تفاضل دو زاویه و مانند آن اشاره کرد. ابوالوفا برای نخستین بار شعاع دایره مثلثاتی را که از دیر باز 60 در نظر گرفته می‌شد، برابر یک (واحد طول) فرض کرد. در نتیجه روابط مثلثاتی وی دقیقاً همان روابطی است که امروزه به کار می‌رود. به طور مثال جیب یک زاویه در آثار ریاضی‌دانان دیگر 60 برابر سینوس آن زاویه است در حالی که در آثار ابوالوفا این دو تابع یکی هستند. این کار روابط مثلثاتی را بسیار ساده‌تر و کاربرد آنها را آسان‌تر می‌کرد. کارادوو (از محققین نامدار فرانسوی در زمینه تاریخ علم) پس از نقل سخنان ابوالوفا در این باره گفته است: «گویی این عبارات را یکی از ریاضی‌دانان زمان ما (یعنی سده 19م) نوشته است»&lt;ref&gt;کرامتی، یونس. «بوزجانی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 12، ص 729-732.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 79-83.&lt;/ref&gt;. ابوالوفا، ابونصر عراق٭، [[خجندی]]٭ و [[کوشیار گیلانی]]٭، چهار ریاضی‌دان ایرانی بودند که هر یک مدعی کشف «شَکل مغنی» یا همان قضیه مشهور سینوس‌ها در مثلثات کروی بود. [[ابوریحان بیرونی|بیرونی]]٭ در این میانه حق را به استاد خود ابونصر عراق داده است&lt;ref&gt;کرامتی. «بوزجانی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ص 728-729.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 98-100.&lt;/ref&gt;. ابونصر مدت‌ها پیش از فرانسوا وی‌یت (1540-1603م) برای نخستین بار به مفهوم مثلث قطبی اشاره کرد و از آن در ساخت مثلثی با زوایای معلوم بهره برد&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 100</del>.&lt;/ref&gt;.  </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>مثلثات، از شاخه‌های مهم <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[حساب|</ins>ریاضیات<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">]]</ins>. گرچه سابقه استفاده از توابع مثلثاتی به روزگاران کهن و تمدن‌های بین النهرین باز می‌گردد اما چنان که در این مقاله خواهد آمد، مبانی علمی این رشته در دوره اسلامی و به دست ریاضی‌دانان ایرانی وضع شد. اغلب ستاره‌شناسان ایرانی که به تدوین زیج پرداخته‌اند، به ناچار جدولی از توابع مثلثاتی نیز فراهم آورده‌اند. حبش حاسب٭ در زیج‌های خود، برای نخستین بار دو تابع تانژانتی ظلّ معکوس و ظلّ مستوی (معادل تانژانت و کتانژانت) را به عنوان دو تابع مثلثاتی مستقل (و نه به صورت حاصل تقسیم کسینوس بر سینوس یا بالعکس) تعریف کرد و جداولی نسبتاً دقیق برای این توابع و نیز توابع جیب و جیب تمام (معادل سینوس و کسینوس) ارائه داد&lt;ref&gt;كرامتی، یونس. '''''كارنامه ایرانیان'''''. تهران: 1380، ص 61-62.&lt;/ref&gt;.  </div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>کتاب مقالید علم الهیئه ابوریحان بیرونی را باید نخستین کتاب مستقل در مثلثات دانست زیرا تا آن روزگار مباحث مثلثاتی همواره در مقدمه آثار نجومی و به‌ویژه زیج‌ها مطرح می‌شد. این کتاب همچنین بحث تاریخی مهمی درباره کشف قضیه سینوس‌ها در بر دارد&lt;ref&gt;کرامتی. «بوزجانی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 12، ص 728-730.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. یونس، «بیرونی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 13، ص 729-732.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه''''' '''''ایرانیان'''''. ص 109-110.&lt;/ref&gt;. پس از وی، [[نصیر الدین طوسی]]٭ با نگارش کتاب کشف القناع فی اسرار شکل القطاع، دومین اثر مستقل مثلثاتی را نوشت که همچون اثر بیرونی برخی مباحث تاریخی را نیز در بر داشت&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه''''' '''''ایرانیان'''''. ص 129.&lt;/ref&gt;. سرانجام کاشانی٭، زبردست ترین حاسب جهان اسلام با یافتن معادله مثلثاتی تثلیث زاویه (معادله‌ای میان سینوس یک زاویه و سینوس زاویه‌ای سه برابر آن) و حل این معادله از روش‌های آنالیز عددی مقداری بسیار دقیق برای سینوس یک درجه به دست آورد که تا 17 رقم اعشاری با مقدار واقعی سینوس یک درجه مطابقت داشت. 9 سال پس از مرگ کاشانی، الغ بیگ٭ در زیج خود، روش ابتکاری کاشانی را به خود نسبت داد که البته بیرجندی در شرح این بخش از کتاب الغ بیگ، بر تقدم کاشانی در این زمینه تأکید کرده است&lt;ref&gt;کرامتی یونس. '''''در قلمرو ریاضیات'''''. تهران: 1381، ص 16-17.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 134-135.&lt;/ref&gt;.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[بوزجانی]]٭، بی‌هیچ گفتگو، بزرگ‌ترین عالم مثلثات در جهان [[اسلام]]، و یکی از زبردست‌ترین ریاضی‌دانان تاریخ در این رشته بوده‌است. بخش مهمی از مَجَسطی بوزجانی را می‌توان کتابی جامع درباره علم مثلثات دانست. بسیاری از روابط مشهور و آشنای مثلثاتی توسط [[بوزجانی]] کشف و اثبات شده‌است. از این میان می‌توان به اتحادهای مثلثاتی سینوس و کسینوس مجموع یا تفاضل دو زاویه و مانند آن اشاره کرد. ابوالوفا برای نخستین بار شعاع دایره مثلثاتی را که از دیر باز 60 در نظر گرفته می‌شد، برابر یک (واحد طول) فرض کرد. در نتیجه روابط مثلثاتی وی دقیقاً همان روابطی است که امروزه به کار می‌رود. به طور مثال جیب یک زاویه در آثار ریاضی‌دانان دیگر 60 برابر سینوس آن زاویه است در حالی که در آثار ابوالوفا این دو تابع یکی هستند. این کار روابط مثلثاتی را بسیار ساده‌تر و کاربرد آنها را آسان‌تر می‌کرد. کارادوو (از محققین نامدار فرانسوی در زمینه تاریخ علم) پس از نقل سخنان ابوالوفا در این باره گفته است:  &lt;blockquote&gt;«گویی این عبارات را یکی از ریاضی‌دانان زمان ما (یعنی سده 19م) نوشته است»&lt;ref&gt;کرامتی، یونس. «بوزجانی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 12، ص 729-732.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 79-83.&lt;/ref&gt;.  &lt;/blockquote&gt;ابوالوفا، ابونصر عراق٭، [[خجندی]]٭ و [[کوشیار گیلانی]]٭، چهار ریاضی‌دان ایرانی بودند که هر یک مدعی کشف «شَکل مغنی» یا همان قضیه مشهور سینوس‌ها در مثلثات کروی بود. [[ابوریحان بیرونی|بیرونی]]٭ در این میانه حق را به استاد خود ابونصر عراق داده است&lt;ref&gt;کرامتی. «بوزجانی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ص 728-729.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 98-100.&lt;/ref&gt;. ابونصر مدت‌ها پیش از فرانسوا وی‌یت (1540-1603م) برای نخستین بار به مفهوم مثلث قطبی اشاره کرد و از آن در ساخت مثلثی با زوایای معلوم بهره برد&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 100.&lt;/ref&gt;. </ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>کتاب مقالید علم الهیئه <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[</ins>ابوریحان بیرونی<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">]] </ins>را باید نخستین کتاب مستقل در مثلثات دانست زیرا تا آن روزگار مباحث مثلثاتی همواره در مقدمه آثار نجومی و به‌ویژه زیج‌ها مطرح می‌شد. این کتاب همچنین بحث تاریخی مهمی درباره کشف قضیه سینوس‌ها در بر دارد&lt;ref&gt;کرامتی. «بوزجانی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 12، ص 728-730.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. یونس، «بیرونی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 13، ص 729-732.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه''''' '''''ایرانیان'''''. ص 109-110.&lt;/ref&gt;. پس از وی، [[نصیر الدین طوسی]]٭ با نگارش کتاب کشف القناع فی اسرار شکل القطاع، دومین اثر مستقل مثلثاتی را نوشت که همچون اثر بیرونی برخی مباحث تاریخی را نیز در بر داشت&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه''''' '''''ایرانیان'''''. ص 129.&lt;/ref&gt;. سرانجام کاشانی٭، زبردست ترین حاسب جهان اسلام با یافتن معادله مثلثاتی تثلیث زاویه (معادله‌ای میان سینوس یک زاویه و سینوس زاویه‌ای سه برابر آن) و حل این معادله از روش‌های آنالیز عددی مقداری بسیار دقیق برای سینوس یک درجه به دست آورد که تا 17 رقم اعشاری با مقدار واقعی سینوس یک درجه مطابقت داشت. 9 سال پس از مرگ کاشانی، الغ بیگ٭ در زیج خود، روش ابتکاری کاشانی را به خود نسبت داد که البته بیرجندی در شرح این بخش از کتاب الغ بیگ، بر تقدم کاشانی در این زمینه تأکید کرده است&lt;ref&gt;کرامتی یونس. '''''در قلمرو ریاضیات'''''. تهران: 1381، ص 16-17.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 134-135.&lt;/ref&gt;.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== نیز نگاه کنید به ==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== نیز نگاه کنید به ==</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l20">خط ۲۰:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">خط ۲۲:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== نویسنده مقاله ==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== نویسنده مقاله ==</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>یونس كرامتی</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>یونس كرامتی</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[رده:علوم و فنون]]</ins></div></td></tr> </table>

Samei https://iranology-e.ir/index.php?title=%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA&diff=6829&oldid=prev 2025-05-07T13:34:45Z

<p></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="fa"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ نسخهٔ قدیمی‌تر</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">نسخهٔ ‏۷ مهٔ ۲۰۲۵، ساعت ۱۳:۳۴</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l13">خط ۱۳:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">خط ۱۳:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== مآخذ ==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== مآخذ ==</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">&lt;references /&gt;</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">== منبع اصلی ==</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[https://icro.ir/ سازمان فرهنگ و ارتباطات اسلامی، مرکز مطالعات راهبردی روابط فرهنگی] (1398). دانشنامه ایران. تهران: [https://alhoda.ir/ موسسه فرهنگی هنری و انتشارات بین المللی الهدی]،</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">== نویسنده مقاله ==</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یونس كرامتی</ins></div></td></tr> </table>

Nazli https://iranology-e.ir/index.php?title=%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA&diff=6828&oldid=prev 2025-05-07T13:34:25Z

<p></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="fa"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ نسخهٔ قدیمی‌تر</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">نسخهٔ ‏۷ مهٔ ۲۰۲۵، ساعت ۱۳:۳۴</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">خط ۱:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">خط ۱:</td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''مثلثات'''، </del>از شاخه‌های مهم ریاضیات. گرچه <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">سابقة </del>استفاده از توابع مثلثاتی به روزگاران <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كهن </del>و تمدن‌های بین النهرین باز می‌گردد اما چنان <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كه </del>در این مقاله خواهد آمد، مبانی علمی این رشته در <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">دورة </del>اسلامی و به دست ریاضی‌دانان ایرانی وضع شد. اغلب ستاره‌شناسان ایرانی <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كه </del>به تدوین زیج پرداخته‌اند، به ناچار جدولی از توابع مثلثاتی نیز فراهم آورده‌اند. حبش <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">حاسب٭  </del>در زیج‌های خود، برای نخستین بار دو تابع تانژانتی ظلّ <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">معكوس </del>و ظلّ مستوی (معادل تانژانت و <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كتانژانت</del>) را به عنوان دو تابع مثلثاتی مستقل (و نه به صورت حاصل تقسیم <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كسینوس </del>بر سینوس یا <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">بالعكس</del>) تعریف <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كرد </del>و جداولی نسبتاً دقیق برای این توابع و نیز توابع جیب و جیب تمام (معادل سینوس و <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كسینوس</del>) ارائه داد<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">.</del>&lt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">1</del>&lt;/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt; <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">بوزجانی٭، </del>بی‌هیچ گفتگو، بزرگ‌ترین عالم مثلثات در جهان [[اسلام]]، و <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یكی </del>از زبردست‌ترین ریاضی‌دانان تاریخ در این رشته <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">بوده است</del>. بخش مهمی از <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">''</del>مَجَسطی<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'' </del>بوزجانی را می‌توان <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كتابی </del>جامع <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">دربارة </del>علم مثلثات دانست. بسیاری از روابط مشهور و آشنای مثلثاتی توسط بوزجانی <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كشف </del>و اثبات <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">شده است</del>. از این میان می‌توان به اتحادهای مثلثاتی سینوس و <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كسینوس </del>مجموع یا تفاضل دو زاویه و مانند آن اشاره <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كرد</del>. ابوالوفا برای نخستین بار شعاع <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">دایرة </del>مثلثاتی را <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كه </del>از دیر باز 60 در نظر گرفته می‌شد، برابر <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یك </del>(واحد طول) فرض <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كرد</del>. در نتیجه روابط مثلثاتی وی دقیقاً همان روابطی است <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كه </del>امروزه به <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كار </del>می‌رود. به طور مثال جیب <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یك </del>زاویه در آثار ریاضی‌دانان <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">دیگر  </del>60 برابر سینوس آن <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">زاویه  </del>است در حالی <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كه </del>در آثار ابوالوفا این دو تابع <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یكی </del>هستند. این <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كار </del>روابط مثلثاتی را بسیار ساده‌تر و <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كاربرد </del>آنها را آسان‌تر <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">می‌كرد</del>. <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كارادوو </del>(از محققین نامدار فرانسوی در <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">زمینة </del>تاریخ علم) پس از نقل سخنان ابوالوفا در این باره گفته است: «گویی این عبارات را <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یكی </del>از ریاضی‌دانان زمان ما (یعنی <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">سدة </del>19م) نوشته است».&lt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">2و3</del>&lt;/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt; ابوالوفا، ابونصر عراق٭، <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">خجندی٭ </del>و <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كوشیار گیلانی٭، </del>چهار ریاضی‌دان ایرانی بودند <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كه </del>هر <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یك </del>مدعی <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كشف «شَكل </del>مغنی» یا همان <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">قضیة </del>مشهور سینوس‌ها در مثلثات <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كروی </del>بود. <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">بیرونی٭ </del>در این میانه حق را به استاد خود ابونصر عراق داده است.&lt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">4و5</del>&lt;/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt; ابونصر مدت‌ها پیش از فرانسوا وی‌یت (1540-1603م) برای نخستین بار به مفهوم مثلث قطبی اشاره <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كرد </del>و از آن در ساخت مثلثی با زوایای معلوم بهره برد<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">.</del>&lt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">6</del>&lt;/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt;  </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">مثلثات، </ins>از شاخه‌های مهم ریاضیات. گرچه <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">سابقه </ins>استفاده از توابع مثلثاتی به روزگاران <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کهن </ins>و تمدن‌های بین النهرین باز می‌گردد اما چنان <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">که </ins>در این مقاله خواهد آمد، مبانی علمی این رشته در <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">دوره </ins>اسلامی و به دست ریاضی‌دانان ایرانی وضع شد. اغلب ستاره‌شناسان ایرانی <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">که </ins>به تدوین زیج پرداخته‌اند، به ناچار جدولی از توابع مثلثاتی نیز فراهم آورده‌اند. حبش <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">حاسب٭ </ins>در زیج‌های خود، برای نخستین بار دو تابع تانژانتی ظلّ <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">معکوس </ins>و ظلّ مستوی (معادل تانژانت و <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کتانژانت</ins>) را به عنوان دو تابع مثلثاتی مستقل (و نه به صورت حاصل تقسیم <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کسینوس </ins>بر سینوس یا <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">بالعکس</ins>) تعریف <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کرد </ins>و جداولی نسبتاً دقیق برای این توابع و نیز توابع جیب و جیب تمام (معادل سینوس و <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کسینوس</ins>) ارائه داد&lt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كرامتی، یونس. '''''كارنامه ایرانیان'''''. تهران: 1380، ص 61-62.</ins>&lt;/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. [[بوزجانی]]٭، </ins>بی‌هیچ گفتگو، بزرگ‌ترین عالم مثلثات در جهان [[اسلام]]، و <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یکی </ins>از زبردست‌ترین ریاضی‌دانان تاریخ در این رشته <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">بوده‌است</ins>. بخش مهمی از مَجَسطی بوزجانی را می‌توان <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کتابی </ins>جامع <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">درباره </ins>علم مثلثات دانست. بسیاری از روابط مشهور و آشنای مثلثاتی توسط <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[</ins>بوزجانی<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">]] کشف </ins>و اثبات <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">شده‌است</ins>. از این میان می‌توان به اتحادهای مثلثاتی سینوس و <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کسینوس </ins>مجموع یا تفاضل دو زاویه و مانند آن اشاره <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کرد</ins>. ابوالوفا برای نخستین بار شعاع <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">دایره </ins>مثلثاتی را <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">که </ins>از دیر باز 60 در نظر گرفته می‌شد، برابر <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یک </ins>(واحد طول) فرض <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کرد</ins>. در نتیجه روابط مثلثاتی وی دقیقاً همان روابطی است <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">که </ins>امروزه به <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کار </ins>می‌رود. به طور مثال جیب <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یک </ins>زاویه در آثار ریاضی‌دانان <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">دیگر </ins>60 برابر سینوس آن <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">زاویه </ins>است در حالی <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">که </ins>در آثار ابوالوفا این دو تابع <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یکی </ins>هستند. این <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کار </ins>روابط مثلثاتی را بسیار ساده‌تر و <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کاربرد </ins>آنها را آسان‌تر <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">می‌کرد</ins>. <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کارادوو </ins>(از محققین نامدار فرانسوی در <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">زمینه </ins>تاریخ علم) پس از نقل سخنان ابوالوفا در این باره گفته است: «گویی این عبارات را <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یکی </ins>از ریاضی‌دانان زمان ما (یعنی <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">سده </ins>19م) نوشته است»<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">&lt;ref&gt;کرامتی، یونس. «بوزجانی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 12، ص 729-732</ins>.&lt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">/ref&gt;&lt;ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 79-83.</ins>&lt;/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. </ins>ابوالوفا، ابونصر عراق٭، <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[خجندی]]٭ </ins>و <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[کوشیار گیلانی]]٭، </ins>چهار ریاضی‌دان ایرانی بودند <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">که </ins>هر <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یک </ins>مدعی <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کشف «شَکل </ins>مغنی» یا همان <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">قضیه </ins>مشهور سینوس‌ها در مثلثات <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کروی </ins>بود. <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[ابوریحان بیرونی|بیرونی]]٭ </ins>در این میانه حق را به استاد خود ابونصر عراق داده است<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">&lt;ref&gt;کرامتی. «بوزجانی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ص 728-729</ins>.&lt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">/ref&gt;&lt;ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 98-100.</ins>&lt;/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. </ins>ابونصر مدت‌ها پیش از فرانسوا وی‌یت (1540-1603م) برای نخستین بار به مفهوم مثلث قطبی اشاره <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کرد </ins>و از آن در ساخت مثلثی با زوایای معلوم بهره برد&lt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 100.</ins>&lt;/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. </ins></div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كتاب ''</del>مقالید علم <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">الهیئة'' </del>ابوریحان بیرونی را باید نخستین <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كتاب </del>مستقل در مثلثات دانست زیرا تا آن روزگار مباحث مثلثاتی همواره در <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">مقدمة </del>آثار نجومی و <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">بویژه </del>زیج‌ها مطرح می‌شد. این <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كتاب </del>همچنین بحث تاریخی مهمی <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">دربارة كشف قضیة </del>سینوس‌ها در بر دارد.&lt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">7و8و9</del>&lt;/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt; پس از وی، [[نصیر الدین طوسی]]٭ با نگارش <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كتاب ''كشف </del>القناع فی اسرار <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">شكل القطاع''، </del>دومین اثر مستقل مثلثاتی را نوشت <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كه </del>همچون اثر بیرونی برخی مباحث تاریخی را نیز در بر داشت<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">.</del>&lt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">10</del>&lt;/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt; سرانجام <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كاشانی٭، </del>زبردست ترین حاسب جهان اسلام با یافتن <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">معادلة </del>مثلثاتی تثلیث زاویه (معادله‌ای میان سینوس <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یك </del>زاویه و سینوس زاویه‌ای سه برابر آن) و حل این معادله از روش‌های آنالیز عددی مقداری بسیار دقیق برای سینوس <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یك </del>درجه به دست آورد <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كه </del>تا 17 رقم اعشاری با مقدار واقعی سینوس <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یك </del>درجه مطابقت داشت. 9 سال پس از مرگ <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كاشانی، </del>الغ بیگ٭ در زیج خود، روش <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ابتكاری كاشانی </del>را به خود نسبت داد <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كه </del>البته بیرجندی در شرح این بخش از <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كتاب </del>الغ بیگ، بر تقدم <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">كاشانی </del>در این زمینه <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">تأكید كرده </del>است.&lt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">11و12</del>&lt;/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sup</del>&gt;</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کتاب </ins>مقالید علم <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">الهیئه </ins>ابوریحان بیرونی را باید نخستین <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کتاب </ins>مستقل در مثلثات دانست زیرا تا آن روزگار مباحث مثلثاتی همواره در <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">مقدمه </ins>آثار نجومی و <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">به‌ویژه </ins>زیج‌ها مطرح می‌شد. این <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کتاب </ins>همچنین بحث تاریخی مهمی <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">درباره کشف قضیه </ins>سینوس‌ها در بر دارد<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">&lt;ref&gt;کرامتی</ins>. <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">«بوزجانی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 12، ص 728-730.&lt;/ref&gt;</ins>&lt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کرامتی. یونس، «بیرونی»، '''دائره المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 13، ص 729-732.</ins>&lt;/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه''''' '''''ایرانیان'''''. ص 109-110.&lt;/ref&gt;. </ins>پس از وی، [[نصیر الدین طوسی]]٭ با نگارش <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کتاب کشف </ins>القناع فی اسرار <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">شکل القطاع، </ins>دومین اثر مستقل مثلثاتی را نوشت <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">که </ins>همچون اثر بیرونی برخی مباحث تاریخی را نیز در بر داشت&lt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کرامتی. '''''کارنامه''''' '''''ایرانیان'''''. ص 129.</ins>&lt;/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. </ins>سرانجام <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کاشانی٭، </ins>زبردست ترین حاسب جهان اسلام با یافتن <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">معادله </ins>مثلثاتی تثلیث زاویه (معادله‌ای میان سینوس <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یک </ins>زاویه و سینوس زاویه‌ای سه برابر آن) و حل این معادله از روش‌های آنالیز عددی مقداری بسیار دقیق برای سینوس <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یک </ins>درجه به دست آورد <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">که </ins>تا 17 رقم اعشاری با مقدار واقعی سینوس <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یک </ins>درجه مطابقت داشت. 9 سال پس از مرگ <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کاشانی، </ins>الغ بیگ٭ در زیج خود، روش <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ابتکاری کاشانی </ins>را به خود نسبت داد <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">که </ins>البته بیرجندی در شرح این بخش از <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کتاب </ins>الغ بیگ، بر تقدم <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">کاشانی </ins>در این زمینه <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">تأکید کرده </ins>است<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">&lt;ref&gt;کرامتی یونس. '''''در قلمرو ریاضیات'''''. تهران: 1381، ص 16-17</ins>.&lt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">/ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">&lt;ref&gt;کرامتی. '''''کارنامه ایرانیان'''''. ص 134-135.</ins>&lt;/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ref</ins>&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">.</ins></div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">== نیز نگاه کنید به ==</ins></div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">مآخذ: </del></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">* [[بوزجانی]]</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">* [[اسلام]]</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">* [[خجندی]]</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">* [[کوشیار گیلانی]]</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">* [[نصیر الدین طوسی]]</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">* [[ابوریحان بیرونی]]</ins></div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">1.    كرامتی، یونس. '''''كارنامة ایرانیان'''''. تهران: 1380، ص 61-62. </del></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">== مآخذ ==</ins></div></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">2.    كرامتی، یونس. «بوزجانی»، '''دائرة المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 12، ص 729-732.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">3.    كرامتی. '''''كارنامة ایرانیان'''''. ص 79-83.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">4.    كرامتی. «بوزجانی»، '''دائرة المعارف بزرگ اسلامی'''. ص 728-729.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">5.    كرامتی. '''''كارنامة ایرانیان'''''. ص 98-100.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">6.    كرامتی. '''''كارنامة ایرانیان'''''. ص 100.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">7.    كرامتی. یونس، «بیرونی»، '''دائرة المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 13، ص 729-732.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">8.    كرامتی. «بوزجانی»، '''دائرة المعارف بزرگ اسلامی'''. ج 12، ص 728-730.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">9.    كرامتی. '''''كارنامة''''' '''''ایرانیان'''''. ص 109-110.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">10. كرامتی. '''''كارنامة''''' '''''ایرانیان'''''. ص 129.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">11. كرامتی یونس. '''''در قلمرو ریاضیات'''''. تهران: 1381، ص 16-17.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">12. كرامتی. '''''كارنامة ایرانیان'''''. ص 134-135.</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">یونس کرامتی</del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr> <!-- diff cache key wiki-hYbGde5G:diff:1.41:old-6074:rev-6828:php=table --> </table>

Nazli https://iranology-e.ir/index.php?title=%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA&diff=6074&oldid=prev 2025-05-05T09:21:54Z

<p></p> <a href="https://iranology-e.ir/index.php?title=%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA&amp;diff=6074&amp;oldid=1653">نمایش تغییرات</a>

Samei https://iranology-e.ir/index.php?title=%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA&diff=1653&oldid=prev 2024-08-22T05:20:08Z

<p>صفحه‌ای تازه حاوی «&#039;&#039;&#039;مثلثات&#039;&#039;&#039;، از شاخه‌هاي مهم رياضيات. گرچه سابقة استفاده از توابع مثلثاتي به روزگاران كهن و تمدن‌هاي بين النهرين باز مي‌گردد اما چنان كه در اين مقاله خواهد آمد، مباني علمي اين رشته در دورة اسلامي و به دست رياضي‌دانان ايراني وضع شد. اغلب ستاره...» ایجاد کرد</p> <p><b>صفحهٔ تازه</b></p><div>&#039;&#039;&#039;مثلثات&#039;&#039;&#039;، از شاخه‌هاي مهم رياضيات. گرچه سابقة استفاده از توابع مثلثاتي به روزگاران كهن و تمدن‌هاي بين النهرين باز مي‌گردد اما چنان كه در اين مقاله خواهد آمد، مباني علمي اين رشته در دورة اسلامي و به دست رياضي‌دانان ايراني وضع شد. اغلب ستاره‌شناسان ايراني كه به تدوين زيج پرداخته‌اند، به ناچار جدولي از توابع مثلثاتي نيز فراهم آورده‌اند. حبش حاسب٭  در زيج‌هاي خود، براي نخستين بار دو تابع تانژانتي ظلّ معكوس و ظلّ مستوي (معادل تانژانت و كتانژانت) را به عنوان دو تابع مثلثاتي مستقل (و نه به صورت حاصل تقسيم كسينوس بر سينوس يا بالعكس) تعريف كرد و جداولي نسبتاً دقيق براي اين توابع و نيز توابع جيب و جيب تمام (معادل سينوس و كسينوس) ارائه داد.&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; بوزجاني٭، بي‌هيچ گفتگو، بزرگ‌ترين عالم مثلثات در جهان اسلام، و يكي از زبردست‌ترين رياضي‌دانان تاريخ در اين رشته بوده است. بخش مهمي از &#039;&#039;مَجَسطي&#039;&#039; بوزجاني را مي‌توان كتابي جامع دربارة علم مثلثات دانست. بسياري از روابط مشهور و آشناي مثلثاتي توسط بوزجاني كشف و اثبات شده است. از اين ميان مي‌توان به اتحادهاي مثلثاتي سينوس و كسينوس مجموع يا تفاضل دو زاويه و مانند آن اشاره كرد. ابوالوفا براي نخستين بار شعاع دايرة مثلثاتي را كه از دير باز 60 در نظر گرفته مي‌شد، برابر يك (واحد طول) فرض كرد. در نتيجه روابط مثلثاتي وي دقيقاً همان روابطي است كه امروزه به كار مي‌رود. به طور مثال جيب يك زاويه در آثار رياضي‌دانان ديگر  60 برابر سينوس آن زاويه  است در حالي كه در آثار ابوالوفا اين دو تابع يكي هستند. اين كار روابط مثلثاتي را بسيار ساده‌تر و كاربرد آنها را آسان‌تر مي‌كرد. كارادوو (از محققين نامدار فرانسوي در زمينة تاريخ علم) پس از نقل سخنان ابوالوفا در اين باره گفته است: «گويي اين عبارات را يكي از رياضي‌دانان زمان ما (يعني سدة 19م) نوشته است».&lt;sup&gt;2و3&lt;/sup&gt; ابوالوفا، ابونصر عراق٭، خجندي٭ و كوشيار گيلاني٭، چهار رياضي‌دان ايراني بودند كه هر يك مدعي كشف «شَكل مغني» يا همان قضية مشهور سينوس‌ها در مثلثات كروي بود. بيروني٭ در اين ميانه حق را به استاد خود ابونصر عراق داده است.&lt;sup&gt;4و5&lt;/sup&gt; ابونصر مدت‌ها پيش از فرانسوا وي‌يت (1540-1603م) براي نخستين بار به مفهوم مثلث قطبي اشاره كرد و از آن در ساخت مثلثي با زواياي معلوم بهره برد.&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; <br /> <br /> كتاب &#039;&#039;مقاليد علم الهيئة&#039;&#039; ابوريحان بيروني را بايد نخستين كتاب مستقل در مثلثات دانست زيرا تا آن روزگار مباحث مثلثاتي همواره در مقدمة آثار نجومي و بويژه زيج‌ها مطرح مي‌شد. اين كتاب همچنين بحث تاريخي مهمي دربارة كشف قضية سينوس‌ها در بر دارد.&lt;sup&gt;7و8و9&lt;/sup&gt; پس از وي، نصير الدين طوسي٭ با نگارش كتاب &#039;&#039;كشف القناع في اسرار شكل القطاع&#039;&#039;، دومين اثر مستقل مثلثاتي را نوشت كه همچون اثر بيروني برخي مباحث تاريخي را نيز در بر داشت.&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt; سرانجام كاشاني٭، زبردست ترين حاسب جهان اسلام با يافتن معادلة مثلثاتي تثليث زاويه (معادله‌اي ميان سينوس يك زاويه و سينوس زاويه‌اي سه برابر آن) و حل اين معادله از روش‌هاي آناليز عددي مقداري بسيار دقيق براي سينوس يك درجه به دست آورد كه تا 17 رقم اعشاري با مقدار واقعي سينوس يك درجه مطابقت داشت. 9 سال پس از مرگ كاشاني، الغ بيگ٭ در زيج خود، روش ابتكاري كاشاني را به خود نسبت داد كه البته بيرجندي در شرح اين بخش از كتاب الغ بيگ، بر تقدم كاشاني در اين زمينه تأكيد كرده است.&lt;sup&gt;11و12&lt;/sup&gt;<br /> <br /> <br /> مآخذ: <br /> <br /> 1.    كرامتي، يونس. &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;كارنامة ايرانيان&#039;&#039;&#039;&#039;&#039;. تهران: 1380، ص 61-62. <br /> <br /> 2.    كرامتي، يونس. «بوزجاني»، &#039;&#039;&#039;دائرة المعارف بزرگ اسلامي&#039;&#039;&#039;. ج 12، ص 729-732.<br /> <br /> 3.    كرامتي. &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;كارنامة ايرانيان&#039;&#039;&#039;&#039;&#039;. ص 79-83.<br /> <br /> 4.    كرامتي. «بوزجاني»، &#039;&#039;&#039;دائرة المعارف بزرگ اسلامي&#039;&#039;&#039;. ص 728-729.<br /> <br /> 5.    كرامتي. &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;كارنامة ايرانيان&#039;&#039;&#039;&#039;&#039;. ص 98-100.<br /> <br /> 6.    كرامتي. &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;كارنامة ايرانيان&#039;&#039;&#039;&#039;&#039;. ص 100.<br /> <br /> 7.    كرامتي. يونس، «بيروني»، &#039;&#039;&#039;دائرة المعارف بزرگ اسلامي&#039;&#039;&#039;. ج 13، ص 729-732.<br /> <br /> 8.    كرامتي. «بوزجاني»، &#039;&#039;&#039;دائرة المعارف بزرگ اسلامي&#039;&#039;&#039;. ج 12، ص 728-730.<br /> <br /> 9.    كرامتي. &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;كارنامة&#039;&#039;&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;ايرانيان&#039;&#039;&#039;&#039;&#039;. ص 109-110.<br /> <br /> 10. كرامتي. &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;كارنامة&#039;&#039;&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;ايرانيان&#039;&#039;&#039;&#039;&#039;. ص 129.<br /> <br /> 11. كرامتي يونس. &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;در قلمرو رياضيات&#039;&#039;&#039;&#039;&#039;. تهران: 1381، ص 16-17.<br /> <br /> 12. كرامتي. &#039;&#039;&#039;&#039;&#039;كارنامة ايرانيان&#039;&#039;&#039;&#039;&#039;. ص 134-135.<br /> <br /> <br /> یونس کرامتی</div>

Samei